حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (y) + \frac{x}{y} = 2021$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\ln (y) + \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2021)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\ln (y) + \frac{x}{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (y)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

خطوة 2.2.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{y} y' + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

خطوة 2.2.3

اجمع $\frac{1}{y}$ و $y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}}$

خطوة 2.3.4

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

لكتابة $\frac{y'}{y}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

خطوة 2.4.1.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $y^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.2.1

اضرب $\frac{y'}{y}$ في $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' y}{y \cdot y} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

خطوة 2.4.1.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{y' y}{y^{2}} + \frac{y - x y'}{y^{2}}$

خطوة 2.4.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{y' y + y - x y'}{y^{2}}$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}}$

خطوة 3

بما أن $2021$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2021$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{y y' - x y' + y}{y^{2}} = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$y y' - x y' + y = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $y'$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$y y' - x y' = - y$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $y y' - x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $y y'$ .

$y' y - x y' = - y$

خطوة 5.2.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $- x y'$ .

$y' (y) + y' (- x) = - y$

خطوة 5.2.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (y) + y' (- x)$ .

$y' (y - x) = - y$

خطوة 5.2.3

اقسِم كل حد في $y' (y - x) = - y$ على $y - x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اقسِم كل حد في $y' (y - x) = - y$ على $y - x$ .

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

خطوة 5.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{- y}{y - x}$

خطوة 5.2.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- y}{y - x}$

خطوة 5.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y}{y - x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y - x}$