حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{4} + \frac{1}{2} x^{- 3} + \frac{3}{10} x^{6} - \frac{1}{2} x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + \frac{1}{2} x^{- 3} + \frac{3}{10} x^{6} - \frac{1}{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2} x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 3$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 3}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.2.4

اجمع $\frac{- 3}{2}$ و $x^{- 4}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 3 x^{- 4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.2.5

انقُل $x^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 3}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $\frac{3}{10}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{10} x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{3}{10} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.3.3

اجمع $6$ و $\frac{3}{10}$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{6 \cdot 3}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.3.4

اضرب $6$ في $3$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{18}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.3.5

اجمع $\frac{18}{10}$ و $x^{5}$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{18 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أخرِج العامل $2$ من $18 x^{5}$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{2 (5)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{2 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - \frac{1}{2} (2 x)$

خطوة 1.4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - 2 (\frac{1}{2}) x$

خطوة 1.4.4

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- 2}{2} x$

خطوة 1.4.5

اجمع $\frac{- 2}{2}$ و $x$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- 2 x}{2}$

خطوة 1.4.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2}$

خطوة 1.4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

خطوة 1.4.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- x}{1}$

خطوة 1.4.6.2.4

اقسِم $- x$ على $1$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - x$

خطوة 1.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{9 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - x - \frac{3}{2 x^{4}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{9 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - x - \frac{3}{2 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{9}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{9 x^{5}}{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{9}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.3

اجمع $5$ و $\frac{9}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 9}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $5$ في $9$ .

$\frac{45}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.5

اجمع $\frac{45}{5}$ و $x^{4}$ .

$\frac{45 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $45$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

أخرِج العامل $5$ من $45 x^{4}$ .

$\frac{5 (9 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 (9 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (9 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.2.6.2.4

اقسِم $9 x^{4}$ على $1$ .

$9 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$9 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.3.3

اضرب $3$ في $4$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

خطوة 2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $- \frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{3}{2 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{4}}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

خطوة 2.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.5.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

خطوة 2.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.5.5

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

خطوة 2.5.5.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

خطوة 2.5.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

خطوة 2.5.7

اضرب $x^{- 8}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.1

انقُل $x^{3}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

خطوة 2.5.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

خطوة 2.5.7.3

اطرح $8$ من $3$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 5})$

خطوة 2.5.8

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + 4 (\frac{3}{2}) x^{- 5}$

خطوة 2.5.9

اجمع $4$ و $\frac{3}{2}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{4 \cdot 3}{2} x^{- 5}$

خطوة 2.5.10

اضرب $4$ في $3$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12}{2} x^{- 5}$

خطوة 2.5.11

اجمع $\frac{12}{2}$ و $x^{- 5}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12 x^{- 5}}{2}$

خطوة 2.5.12

انقُل $x^{- 5}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12}{2 x^{5}}$

خطوة 2.5.13

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.13.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

خطوة 2.5.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{5}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 (x^{5})}$

خطوة 2.5.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

خطوة 2.5.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{6}{x^{5}}$

خطوة 2.6

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 9 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{6}{x^{5}} - 1$