حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{3}{2 x - 5} - 4$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{3}{2 x - 5} - 4 d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{3}{2 x - 5} d x + \int - 4 d x$

خطوة 4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \frac{1}{2 x - 5} d x + \int - 4 d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 2 x - 5$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 2 x - 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 5]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 5.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - 4 d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int - 4 d x$

خطوة 6.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$3 \int \frac{1}{2 u} d u + \int - 4 d x$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) + \int - 4 d x$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int - 4 d x$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - 4 d x$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C) - 4 x + C$

خطوة 11

بسّط.

$\frac{3}{2} \ln (| u |) - 4 x + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 5$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 5 |) - 4 x + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{3}{2 x - 5} - 4$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 5 |) - 4 x + C$