حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} + 2 x - 3$ . إذن $d u = (2 x + 2) d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} + 2 x - 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 2 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $2 x + 2$ و $0$ .

$2 x + 2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 3$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 - 3$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 - 3$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

خطوة 1.3.3

اطرح $3$ من $0$ .

$u_{lower} = - 3$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 2 \cdot 1 - 3$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 - 3$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 - 3$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $2$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

خطوة 1.5.3

اطرح $3$ من $3$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{0}$

خطوة 5

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $0$ وفي $- 3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 3 |))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})}{2}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 3 |})}{2}$

خطوة 7.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 3$ و $0$ تساوي $3$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{3})}{2}$

خطوة 7.3

اقسِم $0$ على $3$ .

$\frac{\ln (0)}{2}$

خطوة 7.4

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\ln (0)}{2}$

خطوة 8

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف