حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

خطوة 2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 3.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x))$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$

خطوة 4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب عوامل $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 4.2

اطرح $2 \cos (x) \sin (x)$ من $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 4 \cos (x) \sin (x)$