حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = arctanh (1 - 2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = arctanh (x)$ و $g (x) = 1 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [arctanh (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

خطوة 1.2

مشتق $arctanh (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 - u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - 2 x$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

خطوة 2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \cdot 1$

خطوة 2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- \frac{2}{1^{2} - {(1 - 2 x)}^{2}}$

خطوة 3.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = 1 - 2 x$ .

$- \frac{2}{(1 + 1 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

خطوة 3.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

أضف $1$ و $1$ .

$- \frac{2}{(2 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

خطوة 3.1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2}{(2 (1) - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

خطوة 3.1.3.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$- \frac{2}{(2 (1) + 2 (- x)) (1 - (1 - 2 x))}$

خطوة 3.1.3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (1) + 2 (- x)$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - (1 - 2 x))}$

خطوة 3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 \cdot 1 - (- 2 x))}$

خطوة 3.1.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 - (- 2 x))}$

خطوة 3.1.3.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 + 2 x)}$

خطوة 3.1.3.6

اطرح $1$ من $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (0 + 2 x)}$

خطوة 3.1.3.7

أضف $0$ و $2 x$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) \cdot 2 x}$

خطوة 3.1.3.8

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{2}{4 (1 - x) x}$

خطوة 3.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4 (1 - x) x}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 (1 - x) x$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (2 (1 - x) x)}$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (2 (1 - x) x)}$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2 (1 - x) x}$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{1}{2 (1 - x) x}$ .

$- \frac{1}{2 x (1 - x)}$