حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . إذن $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

خطوة 2.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = e^{- 0}$

خطوة 2.3.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

خطوة 2.3.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

خطوة 3

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{3}}}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{3} u_{2}$ في $e^{- t^{3}}$ وفي $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{3} e^{- t^{3}}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $e^{- t^{3}}$ و $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 5.2.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

جمّع الكسور باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{3}} + 1}{3}$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- e^{- t^{3}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) + 1}{3}$

خطوة 6.1.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)}{3}$

خطوة 6.1.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

خطوة 6.1.5

أعِد كتابة $- (e^{- t^{3}} - 1)$ بالصيغة $- 1 (e^{- t^{3}} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

خطوة 6.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

خطوة 6.2.2

انقُل الحد $\frac{1}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - 1$

خطوة 6.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{3} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 6.3

بما أن الأُس $- t^{3}$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{- t^{3}}$ تقترب من $0$ .

$- \frac{1}{3} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 6.4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{3} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 6.4.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{3} (0 - 1)$

خطوة 6.4.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$

خطوة 6.4.2.3

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3})$

خطوة 6.4.2.3.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{3}$

الصيغة العشرية:

$0.\overline{3}$