حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{5 - 2 e^{3 x}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5 - 2 e^{3 x}}$ في صورة ${(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 5 - 2 e^{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $5 - 2 e^{3 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 - 2 e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

خطوة 7.3

انقُل ${(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 - 2 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}])$

خطوة 9

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}])$

خطوة 10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$

خطوة 11

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 e^{3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

خطوة 12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 12.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 14

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

خطوة 15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 15.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 15.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 16

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع $e^{3 x}$ و $\frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 16.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 16.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 \frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 16.3.2

اجمع $- 3$ و $\frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 16.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 16.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 16.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$