حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 2 x e^{- 2 x} d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int x e^{- 2 x} d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{- 2 x}$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $e^{- 2 x}$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

خطوة 3.2

اجمع $x$ و $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

خطوة 3.3

اجمع $e^{- 2 x}$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

خطوة 5.2

اضرب $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ في $1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

خطوة 7

لنفترض أن $u = - 2 x$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 7.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

خطوة 8.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

خطوة 11.2

اضرب $2$ في $2$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

خطوة 12

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد كتابة $2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ بالصيغة $2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 13.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.2

اجمع $e^{- 2 x}$ و $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

خطوة 13.2.3

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 2 x$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

خطوة 15.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ إلى بسط الكسر.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

خطوة 15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

خطوة 15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- e^{- 2 x} x + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

خطوة 15.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ إلى بسط الكسر.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

خطوة 15.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 (2)} + C$

خطوة 15.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 15.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$- e^{- 2 x} x + \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

خطوة 15.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- e^{- 2 x} x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

خطوة 15.5

جمّع $- e^{- 2 x} x$ و $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

انقُل $e^{- 2 x}$ .

$- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

خطوة 15.5.2

لكتابة $- x e^{- 2 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

خطوة 15.5.3

اجمع $- x e^{- 2 x}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

خطوة 15.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}}{2} + C$

خطوة 15.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.1

أخرِج العامل $e^{- 2 x}$ من $- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.1.1

أخرِج العامل $e^{- 2 x}$ من $- x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - e^{- 2 x}}{2} + C$

خطوة 15.6.1.2

أخرِج العامل $e^{- 2 x}$ من $- e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1}{2} + C$

خطوة 15.6.1.3

أخرِج العامل $e^{- 2 x}$ من $e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

خطوة 15.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{2} + C$

خطوة 15.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1)}{2} + C$

خطوة 15.8

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1 (1))}{2} + C$

خطوة 15.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x + 1))}{2} + C$

خطوة 15.10

أعِد كتابة $- (2 x + 1)$ بالصيغة $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x + 1))}{2} + C$

خطوة 15.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

خطوة 16

احذِف الأقواس.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$