حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{5 x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int \frac{x e^{3 x^{2}}}{\sqrt{2 - 3 e^{3 x^{2}}}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = - 18 x e^{3 x^{2}} d x$ ، لذا $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{3 x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = 2 - 3 e^{3 x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 e^{3 x^{2}}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 e^{3 x^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 e^{3 x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x^{2}}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

خطوة 2.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 - 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

خطوة 2.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x^{2}$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

خطوة 2.1.3.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

خطوة 2.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (3 (2 x)))$

خطوة 2.1.3.5

اضرب $2$ في $3$ .

$0 - 3 (e^{3 x^{2}} (6 x))$

خطوة 2.1.3.6

اضرب $6$ في $- 3$ .

$0 - 18 e^{3 x^{2}} x$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

اطرح $18 e^{3 x^{2}} x$ من $0$ .

$- 18 e^{3 x^{2}} x$

خطوة 2.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 18 e^{3 x^{2}} x$ .

$- 18 x e^{3 x^{2}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 18} d u_{2}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$5 \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{18}) d u_{2}$

خطوة 3.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ في $\frac{1}{18}$ .

$5 \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 18} d u_{2}$

خطوة 3.3

انقُل $18$ إلى يسار $\sqrt{u_{2}}$ .

$5 \int - \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$5 (- \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- 5 \int \frac{1}{18 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{18}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{18}$ خارج التكامل.

$- 5 (\frac{1}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $\frac{1}{18}$ و $- 5$ .

$\frac{- 5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

خطوة 7.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

خطوة 7.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{2}}$ في صورة ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 7.2.2

انقُل ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 7.2.3

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 7.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

خطوة 7.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{18} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $- \frac{5}{18} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{5}{18} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (\frac{5}{18}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{5}{18}$ .

$\frac{- 2 \cdot 5}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2.3

اضرب $- 2$ في $5$ .

$\frac{- 10}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10$ .

$\frac{2 (- 5)}{18} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{9} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 - 3 e^{3 x^{2}}$ .

$- \frac{5}{9} {(2 - 3 e^{3 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} + C$