حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}} d x$

خطوة 4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 - x) (1 + x)}} d x$

خطوة 5

أكمِل المربع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

وسّع $(1 - x) (1 + x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 (1 + x) - x (1 + x)$

خطوة 5.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot 1 + 1 x - x (1 + x)$

خطوة 5.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

خطوة 5.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

خطوة 5.1.2.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$1 + x - x \cdot 1 - x \cdot x$

خطوة 5.1.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 + x - x - x \cdot x$

خطوة 5.1.2.1.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.4.1

انقُل $x$ .

$1 + x - x - (x \cdot x)$

خطوة 5.1.2.1.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$1 + x - x - x^{2}$

خطوة 5.1.2.2

اطرح $x$ من $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

خطوة 5.1.2.3

أضف $1$ و $0$ .

$1 - x^{2}$

خطوة 5.1.3

أعِد ترتيب $1$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

خطوة 5.2

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

خطوة 5.3

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 5.4

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

خطوة 5.4.2.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

خطوة 5.4.2.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot 0$ بالصيغة $- 0$ .

$d = - 0$

خطوة 5.4.2.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$d = 0$

خطوة 5.5

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

خطوة 5.5.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

خطوة 5.5.2.1.3

اقسِم $0$ على $- 4$ .

$e = 1 - 0$

خطوة 5.5.2.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e = 1 + 0$

خطوة 5.5.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$e = 1$

خطوة 5.6

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1}} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = x + 0$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = x + 0$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

خطوة 6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 0$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

خطوة 6.1.4

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

خطوة 7.2

أعِد ترتيب $- u^{2}$ و $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 0$ .

$\arcsin (x + 0) + C$

خطوة 10

أضف $x$ و $0$ .

$\arcsin (x) + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (x) + C$