حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{12} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{12} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{12}$ .

$\frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $\frac{4}{12}$ و $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [40 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $40$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $40 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $40 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + 40 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + 40 (2 x)$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $2$ في $40$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + 80 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + 80 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

خطوة 1.2.2.3

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

خطوة 1.2.2.4

اجمع $\frac{3}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

خطوة 1.2.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

خطوة 1.2.2.5.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [80 x]$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $9$ .

$x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [80 x]$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [80 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $80$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $80 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $80 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 18 x + 80 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} + 18 x + 80 \cdot 1$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $80$ في $1$ .

$f'' (x) = x^{2} + 18 x + 80$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{2} + 18 x + 80$ .

$x^{2} + 18 x + 80$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $x^{2} + 18 x + 80 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 18 x + 80 = 0$

خطوة 2.2

حلّل $x^{2} + 18 x + 80$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $80$ ومجموعهما $18$ .

$8, 10$

خطوة 2.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x + 8) (x + 10) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 8 = 0$

$x + 10 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x + 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 8 = 0$

خطوة 2.4.2

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$x = - 8$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 10 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$x = - 10$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 8) (x + 10) = 0$ صحيحة.

$x = - 8, - 10$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $- 8$ في $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 8$ في العبارة.

$f (- 8) = \frac{1}{12} \cdot {(- 8)}^{4} + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $4$ .

$f (- 8) = \frac{1}{12} \cdot 4096 + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$f (- 8) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 4096 + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $4096$ .

$f (- 8) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 1024) + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 8) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 1024) + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 8) = \frac{1}{3} \cdot 1024 + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $1024$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.4

ارفع $- 8$ إلى القوة $3$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + 3 \cdot - 512 + 40 {(- 8)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.5

اضرب $3$ في $- 512$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} - 1536 + 40 {(- 8)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.6

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} - 1536 + 40 \cdot 64$

خطوة 3.1.2.1.7

اضرب $40$ في $64$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} - 1536 + 2560$

خطوة 3.1.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

اكتب $- 1536$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536}{1} + 2560$

خطوة 3.1.2.2.2

اضرب $\frac{- 1536}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536}{1} \cdot \frac{3}{3} + 2560$

خطوة 3.1.2.2.3

اضرب $\frac{- 1536}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536 \cdot 3}{3} + 2560$

خطوة 3.1.2.2.4

اكتب $2560$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536 \cdot 3}{3} + \frac{2560}{1}$

خطوة 3.1.2.2.5

اضرب $\frac{2560}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536 \cdot 3}{3} + \frac{2560}{1} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.1.2.2.6

اضرب $\frac{2560}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536 \cdot 3}{3} + \frac{2560 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 8) = \frac{1024 - 1536 \cdot 3 + 2560 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.1.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.1

اضرب $- 1536$ في $3$ .

$f (- 8) = \frac{1024 - 4608 + 2560 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.1.2.4.2

اضرب $2560$ في $3$ .

$f (- 8) = \frac{1024 - 4608 + 7680}{3}$

خطوة 3.1.2.5

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

اطرح $4608$ من $1024$ .

$f (- 8) = \frac{- 3584 + 7680}{3}$

خطوة 3.1.2.5.2

أضف $- 3584$ و $7680$ .

$f (- 8) = \frac{4096}{3}$

خطوة 3.1.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{4096}{3}$ .

$\frac{4096}{3}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 8$ في $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ هي $(- 8, \frac{4096}{3})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 8, \frac{4096}{3})$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 10$ في $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 10$ في العبارة.

$f (- 10) = \frac{1}{12} \cdot {(- 10)}^{4} + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $- 10$ إلى القوة $4$ .

$f (- 10) = \frac{1}{12} \cdot 10000 + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$f (- 10) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 10000 + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $10000$ .

$f (- 10) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 2500) + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 10) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 2500) + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 10) = \frac{1}{3} \cdot 2500 + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2500$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4

ارفع $- 10$ إلى القوة $3$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + 3 \cdot - 1000 + 40 {(- 10)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.5

اضرب $3$ في $- 1000$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} - 3000 + 40 {(- 10)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.6

ارفع $- 10$ إلى القوة $2$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} - 3000 + 40 \cdot 100$

خطوة 3.3.2.1.7

اضرب $40$ في $100$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} - 3000 + 4000$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اكتب $- 3000$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000}{1} + 4000$

خطوة 3.3.2.2.2

اضرب $\frac{- 3000}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4000$

خطوة 3.3.2.2.3

اضرب $\frac{- 3000}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000 \cdot 3}{3} + 4000$

خطوة 3.3.2.2.4

اكتب $4000$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000 \cdot 3}{3} + \frac{4000}{1}$

خطوة 3.3.2.2.5

اضرب $\frac{4000}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000 \cdot 3}{3} + \frac{4000}{1} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.3.2.2.6

اضرب $\frac{4000}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000 \cdot 3}{3} + \frac{4000 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 10) = \frac{2500 - 3000 \cdot 3 + 4000 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.3.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

اضرب $- 3000$ في $3$ .

$f (- 10) = \frac{2500 - 9000 + 4000 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.3.2.4.2

اضرب $4000$ في $3$ .

$f (- 10) = \frac{2500 - 9000 + 12000}{3}$

خطوة 3.3.2.5

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

اطرح $9000$ من $2500$ .

$f (- 10) = \frac{- 6500 + 12000}{3}$

خطوة 3.3.2.5.2

أضف $- 6500$ و $12000$ .

$f (- 10) = \frac{5500}{3}$

خطوة 3.3.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{5500}{3}$ .

$\frac{5500}{3}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 10$ في $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ هي $(- 10, \frac{5500}{3})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 10, \frac{5500}{3})$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(- 8, \frac{4096}{3}), (- 10, \frac{5500}{3})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, - 8) \cup (- 8, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 10)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 10.1$ في العبارة.

$f'' (- 10.1) = {(- 10.1)}^{2} + 18 (- 10.1) + 80$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 10.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 10.1) = 102.01 + 18 (- 10.1) + 80$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $18$ في $- 10.1$ .

$f'' (- 10.1) = 102.01 - 181.8 + 80$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $181.8$ من $102.01$ .

$f'' (- 10.1) = - 79.79 + 80$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 79.79$ و $80$ .

$f'' (- 10.1) = 0.21$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $0.21$ .

$0.21$

خطوة 5.3

في $- 10.1$ ، المشتق الثاني هو $0.21$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 10)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 10)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 10, - 8)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 9$ في العبارة.

$f'' (- 9) = {(- 9)}^{2} + 18 (- 9) + 80$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 9$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 9) = 81 + 18 (- 9) + 80$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $18$ في $- 9$ .

$f'' (- 9) = 81 - 162 + 80$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $162$ من $81$ .

$f'' (- 9) = - 81 + 80$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 81$ و $80$ .

$f'' (- 9) = - 1$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 9$ يساوي $- 1$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 10, - 8)$

تناقص خلال $(- 10, - 8)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 8, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 7.9$ في العبارة.

$f'' (- 7.9) = {(- 7.9)}^{2} + 18 (- 7.9) + 80$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $- 7.9$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 7.9) = 62.41 + 18 (- 7.9) + 80$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $18$ في $- 7.9$ .

$f'' (- 7.9) = 62.41 - 142.2 + 80$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $142.2$ من $62.41$ .

$f'' (- 7.9) = - 79.79 + 80$

خطوة 7.2.2.2

أضف $- 79.79$ و $80$ .

$f'' (- 7.9) = 0.21$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $0.21$ .

$0.21$

خطوة 7.3

في $- 7.9$ ، المشتق الثاني هو $0.21$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 8, \infty)$ .

تزايد خلال $(- 8, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 10, \frac{5500}{3}), (- 8, \frac{4096}{3})$ .

$(- 10, \frac{5500}{3}), (- 8, \frac{4096}{3})$

خطوة 9