حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \cos (2 x)$ . إذن $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \cos (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار ${u_{2}}^{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل ${u_{2}}^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- 2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{u_{2}} + C$

خطوة 7.2.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u_{2}} + C$

خطوة 7.2.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 u_{2}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2 \cos (2 x)} + C$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افصِل الكسور.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} + C$

خطوة 9.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (2 x)}$ إلى $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$

خطوة 9.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sec (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x)}{2} + C$

خطوة 9.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$