حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

خطوة 1

اكتب $\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sin (2 x) + 3 \cos (3 x) d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \sin (2 x) d x + \int 3 \cos (3 x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

خطوة 6

اجمع $\sin (u_{1})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

خطوة 8

تكامل $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int 3 \cos (3 x) d x$

خطوة 9

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (3 x) d x$

خطوة 10

لنفترض أن $u_{2} = 3 x$ . إذن $d u_{2} = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u_{2} = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 10.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 11

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 (\frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 13.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 1 \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 13.3

اضرب $\int \cos (u_{2}) d u_{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 14

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \sin (u_{2}) + C$

خطوة 15

بسّط.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \sin (u_{2}) + C$

خطوة 16

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (u_{2}) + C$

خطوة 16.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (3 x) + C$

خطوة 17

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$

خطوة 18

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$