حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int {(\frac{1}{3} y)}^{\frac{1}{2}} d y$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{1}{3} y$ . إذن $d u = \frac{1}{3} d y$ ، لذا $3 d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{1}{3} y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{1}{3} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} y]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{1}{3} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{3}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} (1 \cdot 3) d u$

خطوة 2.2

اضرب $3$ في $1$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} \cdot 3 d u$

خطوة 2.3

انقُل $3$ إلى يسار $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $3$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 5.2.3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{3} y$ .

$2 {(\frac{1}{3} y)}^{\frac{3}{2}} + C$