حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\tan^{5} (x)$

خطوة 1

اكتب $\tan^{5} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \tan^{5} (x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \tan^{5} (x) d x$

خطوة 4

أخرِج عامل $\tan^{4} (x)$ .

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) d x$

خطوة 5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) d x$

خطوة 5.2

أعِد كتابة ${\tan (x)}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

خطوة 6

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

خطوة 7

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$\int ({(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2}) \tan (x) d x$

خطوة 8

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int {(- 1)}^{2} \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\int 1 \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

خطوة 8.2.2

اضرب $\tan (x)$ في $1$ .

$\int \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

خطوة 8.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

خطوة 8.2.4

اضرب الأُسس في ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) d x$

خطوة 8.2.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \tan (x) d x + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

خطوة 10

تكامل $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

خطوة 11

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

خطوة 12

لنفترض أن $u_{1} = \sec (x)$ . إذن $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

افترض أن $u_{1} = \sec (x)$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 12.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 12.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int u_{1} d u_{1} + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

خطوة 14

لنفترض أن $u_{2} = \sec (x)$ . إذن $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

افترض أن $u_{2} = \sec (x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

أوجِد مشتقة $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

خطوة 14.1.2

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

خطوة 14.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

خطوة 15

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{3}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

خطوة 16.2

بسّط.

$\ln (| \sec (x) |) - {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

خطوة 17

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

خطوة 17.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

خطوة 18

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \tan^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$