حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)} d x$

خطوة 3

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$ إلى $\csc^{2} (4 x)$ .

$\int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} d x + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 5

بما أن $\frac{5}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{5}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 2}} d x + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{1} = 3 x + 2$ . إذن $d u_{1} = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{1} = 3 x + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

خطوة 6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 6.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 6.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 6.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 6.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 6.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 3} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 7.2

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{3 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{5}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}) + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 9.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{5}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 9.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{6} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 9.2.2

انقُل ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{5}{6} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 9.2.3

اضرب الأُسس في ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 9.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 9.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \csc^{2} (4 x) d x$

خطوة 11

لنفترض أن $u_{2} = 4 x$ . إذن $d u_{2} = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u_{2} = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 11.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 11.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \csc^{2} (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

خطوة 12

اجمع $\csc^{2} (u_{2})$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 14

بما أن مشتق $- \cot (u_{2})$ هو $\csc^{2} (u_{2})$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (u_{2})$ هو $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (- \cot (u_{2}) + C)$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط.

$\frac{5 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{4} (- \cot (u_{2})) + C$

خطوة 15.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\cot (u_{2})$ .

$\frac{5 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (u_{2})}{4} + C$

خطوة 16

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x + 2$ .

$\frac{5 {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (u_{2})}{4} + C$

خطوة 16.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x$ .

$\frac{5 {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (4 x)}{4} + C$

خطوة 17

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{5}{3} {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cot (4 x) + C$

خطوة 18

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{3} {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cot (4 x) + C$