حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $x = \sqrt{2} \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sqrt{2} \cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.2

اضرب في $1$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.3

أخرِج العامل ${\sqrt{2}}^{2}$ من $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.4

أخرِج العامل ${\sqrt{2}}^{2}$ من ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.7

أعِد ترتيب $2$ و $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\cos (t) \sqrt{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{2} \cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أخرِج العامل $\sqrt{2} \cos (t)$ من $\cos (t) \sqrt{2}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2} \cos (t) (1)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2} \cos (t) \cdot 1} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

خطوة 5.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int {(\sqrt{2} \sin (t))}^{3} d t$

خطوة 5.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\int {\sqrt{2}}^{3} \sin^{3} (t) d t$

خطوة 5.2.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$\int \sqrt{2^{3}} \sin^{3} (t) d t$

خطوة 5.2.2.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\int \sqrt{8} \sin^{3} (t) d t$

خطوة 6

بما أن $\sqrt{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\sqrt{8}$ خارج التكامل.

$\sqrt{8} \int \sin^{3} (t) d t$

خطوة 7

أخرِج عامل $\sin^{2} (t)$ .

$\sqrt{8} \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

خطوة 8

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sin^{2} (t)$ بحيث تصبح $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\sqrt{8} \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

خطوة 9

لنفترض أن $u = \cos (t)$ . إذن $d u = - \sin (t) d t$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = \cos (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

خطوة 9.1.2

مشتق $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\sqrt{8} \int - 1 + u^{2} d u$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\sqrt{8} (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\sqrt{8} (- u + C + \int u^{2} d u)$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\sqrt{8} (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$\sqrt{8} (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

خطوة 13.2

بسّط.

$2 \sqrt{2} (- u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

خطوة 14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (t)$ .

$2 \sqrt{2} (- \cos (t) + \frac{\cos^{3} (t)}{3}) + C$

خطوة 14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$2 \sqrt{2} (- \cos (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{2}})$ و $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{2}})$ . إذن، $\cos (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))$ تساوي $\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = \frac{x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.8

اضرب $\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{\sqrt{2} \sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.9.1

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.9.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.9.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.9.4

أضف $1$ و $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.10

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.10.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.10.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.10.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.10.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.10.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.10.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.10.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.11

وسّع $(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.12

جمّع الحدود المتعاكسة في $\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.12.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $\sqrt{2} (- x)$ و $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} - x \sqrt{2} + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.12.2

أضف $- x \sqrt{2}$ و $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + 0 + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.12.3

أضف $\sqrt{2} \sqrt{2}$ و $0$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.13

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.13.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.13.2

اضرب $2$ في $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{4} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.13.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2^{2}} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.13.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.13.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - x \cdot x}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.13.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.13.6.1

انقُل $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - (x \cdot x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.13.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.14

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

خطوة 15.1.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.15.1

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.3

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.8

اضرب $\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.15.9.1

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.9.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.9.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.9.4

أضف $1$ و $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{2}}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.10

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.15.10.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.10.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.10.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.10.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.15.10.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.10.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{1}}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.10.5

احسِب قيمة الأُس.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.11

وسّع $(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.15.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.12

جمّع الحدود المتعاكسة في $\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.15.12.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $\sqrt{2} (- x)$ و $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} - x \sqrt{2} + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.12.2

أضف $- x \sqrt{2}$ و $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + 0 + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.12.3

أضف $\sqrt{2} \sqrt{2}$ و $0$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.13

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.15.13.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.13.2

اضرب $2$ في $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{4} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.13.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2^{2}} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.13.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.13.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - x \cdot x}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.13.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.15.13.6.1

انقُل $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - (x \cdot x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.13.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.14

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{(\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}})}^{3}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.15

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{{\sqrt{2 - x^{2}}}^{3}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.15.16.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2 - x^{2}}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{{(2 - x^{2})}^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{3}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.16.2

أخرِج عامل ${(2 - x^{2})}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{2} (2 - x^{2})}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.16.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{(2 - x^{2}) \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.16.4

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{2 \sqrt{2 - x^{2}} - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.16.5

أخرِج العامل $\sqrt{2 - x^{2}}$ من $2 \sqrt{2 - x^{2}} - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.15.16.5.1

أخرِج العامل $\sqrt{2 - x^{2}}$ من $2 \sqrt{2 - x^{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.16.5.2

أخرِج العامل $\sqrt{2 - x^{2}}$ من $- x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - x^{2}} (- x^{2})}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.16.5.3

أخرِج العامل $\sqrt{2 - x^{2}}$ من $\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - x^{2}} (- x^{2})$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.17

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.15.17.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{3}$ بالصيغة $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{2^{3}}}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.17.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{8}}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.17.3

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.15.17.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{4 (2)}}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.17.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}{3}) + C$

خطوة 15.1.15.17.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2}}}{3}) + C$

خطوة 15.1.16

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3}) + C$

خطوة 15.1.17

اجمع.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2}) \cdot 1}{2 \sqrt{2} \cdot 3}) + C$

خطوة 15.1.18

اضرب $\sqrt{2 - x^{2}}$ في $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} \cdot 3}) + C$

خطوة 15.1.19

اضرب $3$ في $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

خطوة 15.2

لكتابة $- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{6}{6} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

خطوة 15.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $\sqrt{2} \cdot 6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ في $\frac{6}{6}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6}{\sqrt{2} \cdot 6} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

خطوة 15.3.2

أعِد ترتيب عوامل $\sqrt{2} \cdot 6$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6}{6 \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

خطوة 15.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}} + C$

خطوة 15.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2 \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

أخرِج العامل $2 \sqrt{2}$ من $6 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} (3)} + C$

خطوة 15.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} \cdot 3} + C$

خطوة 15.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{3} + C$

خطوة 15.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.1

أخرِج العامل $\sqrt{2 - x^{2}}$ من $- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.6.1.1

أخرِج العامل $\sqrt{2 - x^{2}}$ من $- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6) + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{3} + C$

خطوة 15.6.1.2

أخرِج العامل $\sqrt{2 - x^{2}}$ من $\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6) + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6 + 2 - x^{2})}{3} + C$

خطوة 15.6.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 6 + 2 - x^{2})}{3} + C$

خطوة 15.6.3

أضف $- 6$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 4 - x^{2})}{3} + C$

خطوة 15.7

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4) - x^{2})}{3} + C$

خطوة 15.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4) - (x^{2}))}{3} + C$

خطوة 15.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (4) - (x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4 + x^{2}))}{3} + C$

خطوة 15.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$