حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt[3]{x^{2}} (2 x - x^{2})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x^{2}}$ في صورة $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (2 x - x^{2})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ و $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

خطوة 7.2

اطرح $3$ من $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

خطوة 9

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 10

انقُل $x^{- \frac{1}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $x^{\frac{2}{3}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.2

اضرب $x^{\frac{2}{3}}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

انقُل $x$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + x \cdot x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.2.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{1} x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{1 + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3 + 2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.2.5

أضف $3$ و $2$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{5}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.3

انقُل $- 2$ إلى يسار $x^{\frac{5}{3}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{5}{3}} + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + x \frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.5

اضرب $2$ في $2$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + x \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.6

اجمع $x$ و $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{x \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.7

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.8

انقُل $x^{\frac{1}{3}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.9

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.9.1

انقُل $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.9.2

اضرب $x^{- \frac{1}{3}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.9.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.9.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.9.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.9.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.9.5

أضف $- 1$ و $3$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.10

اجمع $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ و $x^{2}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{2}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

خطوة 11.3.11

انقُل $x^{\frac{1}{3}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.12

اضرب $x^{2}$ في $x^{- \frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.12.1

انقُل $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{2})}{3}$

خطوة 11.3.12.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2}}{3}$

خطوة 11.3.12.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.12.4

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.12.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.12.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.12.6.1

اضرب $2$ في $3$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 6}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.12.6.2

أضف $- 1$ و $6$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.13

لكتابة $2 x^{\frac{2}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.14

اجمع $2 x^{\frac{2}{3}}$ و $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.16

اضرب $3$ في $2$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.17

أضف $6 x^{\frac{2}{3}}$ و $4 x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.18

لكتابة $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.19

اجمع $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.21

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{5}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.22

اطرح $2 x^{\frac{5}{3}}$ من $- 6 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{- 8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 11.3.23

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 11.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$