حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 1

قسّم الكسر $\frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}}$ إلى كسرين.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} + \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 9 + 16 x^{2}$ . إذن $d u = 32 x d x$ ، لذا $\frac{1}{32} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 9 + 16 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 + 16 x^{2}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 + 16 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

خطوة 4.1.2.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $16 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 16 (2 x)$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $2$ في $16$ .

$0 + 32 x$

خطوة 4.1.4

أضف $0$ و $32 x$ .

$32 x$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{32}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 5.2

انقُل $32$ إلى يسار $u$ .

$2 \int \frac{1}{32 u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{32}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{32}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{32}$ و $2$ .

$\frac{2}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 7.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $32$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

خطوة 9

أخرِج العامل $16$ من $9 + 16 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أخرِج العامل $16$ من $9$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 x^{2}} d x$

خطوة 9.2

أخرِج العامل $16$ من $16 x^{2}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})} d x$

خطوة 9.3

أخرِج العامل $16$ من $16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16} + x^{2})} d x$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{16}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{16}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{\frac{9}{16} + x^{2}} d x$

خطوة 11

أعِد كتابة $\frac{9}{16}$ بالصيغة ${(\frac{3}{4})}^{2}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (1 (\frac{4}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

خطوة 13.1.2

اضرب $\frac{4}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

خطوة 13.1.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (x \frac{4}{3}) + C)$

خطوة 13.1.4

اجمع $x$ و $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x \cdot 4}{3}) + C)$

خطوة 13.1.5

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{4 \cdot x}{3}) + C)$

خطوة 13.1.6

اجمع $\frac{4}{3}$ و $\arctan (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4 \arctan (\frac{4 x}{3})}{3} + C)$

خطوة 13.2

بسّط.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

خطوة 13.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اضرب $\frac{1}{16}$ في $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{16 \cdot 3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

خطوة 13.3.2

اضرب $16$ في $3$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

خطوة 13.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $48$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 (1)}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

خطوة 13.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $48$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

خطوة 13.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

خطوة 13.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| 9 + 16 x^{2} |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$