حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ بالصيغة $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $x^{3} + 3 x^{2}$ بالصيغة $x^{2} (x + 3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

خطوة 1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 3}$ في صورة ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.2

اطرح $2$ من $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9.3

انقُل ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 12

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13.2

اضرب $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

خطوة 15

اضرب ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 16

لكتابة ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17

اجمع ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19

اضرب ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

انقُل ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20

بسّط ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21

انقُل $2$ إلى يسار $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.2.2

أضف $x$ و $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.3

أخرِج العامل $3$ من $3 x + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.3.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.3.3

أخرِج العامل $3$ من $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$