حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$v = \frac{4}{3} π r^{3}$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$v' = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d r} v' = \frac{d}{d r} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

خطوة 3

مشتق $v'$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $v''$ .

$v''$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

خطوة 4.1.2

اجمع $\frac{π \cdot 4}{3}$ و $r^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

خطوة 4.1.3

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

خطوة 4.2

بما أن $\frac{4 π}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $\frac{4 π r^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2})$

خطوة 4.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اجمع $3$ و $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} r^{2}$

خطوة 4.4.2

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{12 π}{3} r^{2}$

خطوة 4.4.3

اجمع $\frac{12 π}{3}$ و $r^{2}$ .

$\frac{12 π r^{2}}{3}$

خطوة 4.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1

أخرِج العامل $3$ من $12 π r^{2}$ .

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3}$

خطوة 4.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 (1)}$

خطوة 4.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 \cdot 1}$

خطوة 4.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 π r^{2}}{1}$

خطوة 4.4.4.2.4

اقسِم $4 π r^{2}$ على $1$ .

$4 π r^{2}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$v'' = 4 π r^{2}$

خطوة 6

استبدِل $v'$ بـ $\frac{d v}{d r}$ .

$\frac{d v}{d r} = 4 π r^{2}$