حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sin (4 x - 7)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 4 x - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x - 7$ .

$\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 1.2.4

اضرب $4$ في $1$ .

$\cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 1.2.5

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\cos (4 x - 7) (4 + 0)$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $4$ و $0$ .

$\cos (4 x - 7) \cdot 4$

خطوة 1.2.6.2

انقُل $4$ إلى يسار $\cos (4 x - 7)$ .

$f' (x) = 4 \cos (4 x - 7)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \cos (4 x - 7)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 4 x - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x - 7$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x - 7$ .

$4 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$- 4 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 2.3.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 2.3.5

اضرب $4$ في $1$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 2.3.6

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

خطوة 2.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

أضف $4$ و $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

خطوة 2.3.7.2

اضرب $4$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - 16 \sin (4 x - 7)$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 16 \sin (4 x - 7)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$

خطوة 3.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x - 7$ .

$- 16 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$- 16 (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x - 7$ .

$- 16 (\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 3.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 3.3.4

اضرب $4$ في $1$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 3.3.5

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + 0)$

خطوة 3.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

أضف $4$ و $0$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) \cdot 4$

خطوة 3.3.6.2

اضرب $4$ في $- 16$ .

$f''' (x) = - 64 \cos (4 x - 7)$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 64$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 64 \cos (4 x - 7)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ .

$- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

خطوة 4.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x - 7$ .

$- 64 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

خطوة 4.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- 64 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x - 7$ .

$- 64 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 64$ .

$64 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

خطوة 4.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$64 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 4.3.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 4.3.5

اضرب $4$ في $1$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

خطوة 4.3.6

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

خطوة 4.3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

أضف $4$ و $0$ .

$64 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

خطوة 4.3.7.2

اضرب $4$ في $64$ .

$f^{4} (x) = 256 \sin (4 x - 7)$