حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}} d x$

خطوة 4

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 5

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2} d x$

خطوة 6

وسّع $(3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2}) x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 3 x^{3} x^{- 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

خطوة 6.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 3 x^{3 - 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

خطوة 6.4

اطرح $2$ من $3$ .

$\int 3 x^{1} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

خطوة 6.5

بسّط.

$\int 3 x - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

خطوة 6.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 3 x - 7 x^{2 - 2} + 4 x^{- 2} d x$

خطوة 6.7

اطرح $2$ من $2$ .

$\int 3 x - 7 x^{0} + 4 x^{- 2} d x$

خطوة 6.8

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\int 3 x - 7 \cdot 1 + 4 x^{- 2} d x$

خطوة 6.9

اضرب $- 7$ في $1$ .

$\int 3 x - 7 + 4 x^{- 2} d x$

خطوة 6.10

انقُل $- 7$ .

$\int 3 x + 4 x^{- 2} - 7 d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 3 x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

خطوة 8

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

خطوة 10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 7 d x$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

خطوة 13.2

بسّط.

$\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

خطوة 13.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$