حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$S (t) = 2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $2$ من $3$ .

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.7

اجمع $\frac{3}{2}$ و $t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.8

اجمع $2$ و $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.9

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.10

أخرِج العامل $2$ من $6 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.11

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.11.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.11.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.2.11.4

اقسِم $3 t^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- 9 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 9 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 9$ في $1$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + \frac{d}{d t} [6]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ و $0$ .

$f' (t) = 3 t^{\frac{1}{2}} - 9$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2.9

اجمع $3$ و $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2.10

انقُل $t^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$f'' (t) = \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3

المشتق الثاني لـ $S (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$