حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} + 2 x + 1$ . إذن $d u = (2 x + 2) d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} + 2 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 2 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $2 x + 2$ و $0$ .

$2 x + 2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} + 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} + 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 4 + 2 \cdot 2 + 1$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $4$ و $4$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

خطوة 1.5.3

أضف $8$ و $1$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $9$ وفي $1$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.5

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 1)$

خطوة 6.2.7

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2)$

خطوة 6.2.8

اطرح $2$ من $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4$

خطوة 6.2.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{4}{2}$

خطوة 6.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.10.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

خطوة 6.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1}$

خطوة 6.2.10.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$

خطوة 7