حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (10^{20 t} - e^{20 t}) d t$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int 10^{20 t} - e^{20 t} d t$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 10^{20 t} d t + \int - e^{20 t} d t$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = 20 t$ . إذن $d u_{1} = 20 d t$ ، لذا $\frac{1}{20} d u_{1} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = 20 t$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $20 t$ .

$\frac{d}{d t} [20 t]$

خطوة 3.1.2

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $20 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $20 \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$20 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $20$ في $1$ .

$20$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int 10^{u_{1}} \cdot \frac{1}{20} d u_{1} + \int - e^{20 t} d t$

خطوة 4

اجمع $10^{u_{1}}$ و $\frac{1}{20}$ .

$\int \frac{10^{u_{1}}}{20} d u_{1} + \int - e^{20 t} d t$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{20}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{20}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{20} \int 10^{u_{1}} d u_{1} + \int - e^{20 t} d t$

خطوة 6

تكامل $10^{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) + \int - e^{20 t} d t$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \int e^{20 t} d t$

خطوة 8

لنفترض أن $u_{2} = 20 t$ . إذن $d u_{2} = 20 d t$ ، لذا $\frac{1}{20} d u_{2} = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u_{2} = 20 t$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $20 t$ .

$\frac{d}{d t} [20 t]$

خطوة 8.1.2

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $20 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $20 \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$20 \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $20$ في $1$ .

$20$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \int e^{u_{2}} \frac{1}{20} d u_{2}$

خطوة 9

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{20}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \int \frac{e^{u_{2}}}{20} d u_{2}$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{20}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{20}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - (\frac{1}{20} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 11

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \frac{1}{20} (e^{u_{2}} + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

$\frac{1 \cdot 10^{u_{1}}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{u_{2}} + C$

خطوة 12.2

اضرب $10^{u_{1}}$ في $1$ .

$\frac{10^{u_{1}}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{u_{2}} + C$

خطوة 13

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $20 t$ .

$\frac{10^{20 t}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{u_{2}} + C$

خطوة 13.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $20 t$ .

$\frac{10^{20 t}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{20 t} + C$

خطوة 14

اجمع $e^{20 t}$ و $\frac{1}{20}$ .

$\frac{10^{20 t}}{20 \ln (10)} - \frac{e^{20 t}}{20} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{20 \ln (10)} \cdot 10^{20 t} - \frac{1}{20} e^{20 t} + C$