حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

خطوة 1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.4.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.4.2.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

خطوة 1.4.4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

خطوة 1.4.4.2

أخرِج العامل $x$ من $x - 2 \ln (x) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

خطوة 1.4.4.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

خطوة 1.4.4.2.3

أخرِج العامل $x$ من $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

خطوة 1.4.4.2.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

خطوة 1.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

خطوة 1.6

بسّط $- 2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \ln (x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.2.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x^{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

اضرب في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.4.2.2.4

اقسِم $x$ على $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x (2 x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.4.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x \cdot x - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.8

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

خطوة 2.10

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

خطوة 2.10.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

خطوة 2.10.2.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

خطوة 2.10.2.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

خطوة 2.11

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

خطوة 2.11.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

خطوة 2.11.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

خطوة 2.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 \cdot 1 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

خطوة 2.12.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

خطوة 2.12.2.1.2

اضرب $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + 3 \ln (x^{2})}{x^{4}}$

خطوة 2.12.2.1.2.2

بسّط $3 \ln (x^{2})$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{x^{4}}$

خطوة 2.12.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{x^{4}}$

خطوة 2.12.2.1.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

خطوة 2.12.2.2

اطرح $3$ من $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

خطوة 2.12.3

أعِد كتابة $- 5$ بالصيغة $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

خطوة 2.12.4

أخرِج العامل $- 1$ من $\ln (x^{6})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

خطوة 2.12.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (5) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 - \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

خطوة 2.12.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{5 - \ln (x^{6})}{x^{4}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

خطوة 4.1.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.1.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.1.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.1.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.1.4.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.1.4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.1.4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.1.4.2.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.1.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

خطوة 4.1.4.4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

خطوة 4.1.4.4.2

أخرِج العامل $x$ من $x - 2 \ln (x) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

خطوة 4.1.4.4.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

خطوة 4.1.4.4.2.3

أخرِج العامل $x$ من $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

خطوة 4.1.4.4.2.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

خطوة 4.1.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 4.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 4.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

خطوة 4.1.6

بسّط $- 2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$1 - \ln (x^{2}) = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \ln (x^{2}) = - 1$

خطوة 5.3.2

اقسِم كل حد في $- \ln (x^{2}) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اقسِم كل حد في $- \ln (x^{2}) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $\ln (x^{2})$ على $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 1$

خطوة 5.3.3

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{1}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $\ln (x^{2}) = 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2}$

خطوة 5.3.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{2} = e^{1}$ .

$x^{2} = e$

خطوة 5.3.5.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{e^{1}}$

خطوة 5.3.5.3

بسّط.

$x = \pm \sqrt{e}$

خطوة 5.3.5.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \sqrt{e}$

خطوة 5.3.5.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \sqrt{e}$

خطوة 5.3.5.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \sqrt{e}, - \sqrt{e}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{3} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 6.2.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 6.3

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x^{2})$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} \leq 0$

خطوة 6.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

خطوة 6.4.2

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq \sqrt{0}$

خطوة 6.4.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

بسّط $\sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

خطوة 6.4.2.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq | 0 |$

خطوة 6.4.2.2.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$| x | \leq 0$

خطوة 6.4.3

اكتب $| x | \leq 0$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 6.4.3.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x \leq 0$

خطوة 6.4.3.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 6.4.3.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x \leq 0$

خطوة 6.4.3.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

خطوة 6.4.4

أوجِد التقاطع بين $x \leq 0$ و $x \geq 0$ .

$x = 0$

خطوة 6.4.5

أوجِد حل $- x \leq 0$ عندما تكون $x < 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.5.1

اقسِم كل حد في $- x \leq 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.5.1.1

اقسِم كل حد في $- x \leq 0$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

خطوة 6.4.5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.5.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

خطوة 6.4.5.1.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

خطوة 6.4.5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.5.1.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$x \geq 0$

خطوة 6.4.5.2

أوجِد التقاطع بين $x \geq 0$ و $x < 0$ .

لا يوجد حل

خطوة 6.4.6

أوجِد اتحاد الحلول.

$x = 0$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \sqrt{e}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \sqrt{e}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{5 - \ln ({(\sqrt{e})}^{6})}{{(\sqrt{e})}^{4}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{e}}^{6}$ بالصيغة $e^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{e}$ في صورة $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5 - \ln ({(e^{\frac{1}{2}})}^{6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

خطوة 9.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{1}{2} \cdot 6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

خطوة 9.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{6}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

خطوة 9.1.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

خطوة 9.1.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

خطوة 9.1.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

خطوة 9.1.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{3}{1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

خطوة 9.1.1.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{3})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

خطوة 9.1.2

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $3$ خارج الأُس.

$- \frac{5 - (3 \ln (e))}{{\sqrt{e}}^{4}}$

خطوة 9.1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$- \frac{5 - (3 \cdot 1)}{{\sqrt{e}}^{4}}$

خطوة 9.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$- \frac{5 - 1 \cdot 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

خطوة 9.1.5

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- \frac{5 - 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

خطوة 9.1.6

اطرح $3$ من $5$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{e}}^{4}}$

خطوة 9.2

أعِد كتابة ${\sqrt{e}}^{4}$ بالصيغة $e^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{e}$ في صورة $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

خطوة 9.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{2} \cdot 4}}$

خطوة 9.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{4}{2}}}$

خطوة 9.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

خطوة 9.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

خطوة 9.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

خطوة 9.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{2}{e^{\frac{2}{1}}}$

خطوة 9.2.4.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

خطوة 10

$x = \sqrt{e}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \sqrt{e}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \sqrt{e}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\sqrt{e}$ في العبارة.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(\sqrt{e})}^{2}}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{e}}^{2}$ بالصيغة $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{e}$ في صورة $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 11.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 11.2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 11.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 11.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

خطوة 11.2.1.5

بسّط.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

خطوة 11.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$ .

$y = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$ .

$(\sqrt{e}, \frac{\ln (\sqrt{e})}{e})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 13