حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{12 x^{2}}{2 x + 1} d x$

خطوة 1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$12 \int \frac{x^{2}}{2 x + 1} d x$

خطوة 2

اقسِم $x^{2}$ على $2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

خطوة 2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

خطوة 2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$

خطوة 2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + \frac{x}{2}$

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$

خطوة 2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$

خطوة 2.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$

خطوة 2.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- \frac{x}{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$

خطوة 2.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$

خطوة 2.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{4}$

خطوة 2.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

خطوة 2.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$12 \int \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$12 (\int \frac{x}{2} d x + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$12 (\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

خطوة 7.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

خطوة 9

لنفترض أن $u = 2 x + 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = 2 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

خطوة 9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 9.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 9.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 9.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 9.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 9.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

خطوة 10.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u} d u)$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 12.2

اضرب $2$ في $4$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 13

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C))$

خطوة 14

بسّط.

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| u |)}{8}) + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 1$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

لكتابة $\frac{x^{2}}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

خطوة 16.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

اضرب $\frac{x^{2}}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

خطوة 16.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

خطوة 16.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

خطوة 16.4

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

خطوة 16.5

طبّق خاصية التوزيع.

$12 (- \frac{x}{4}) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

خطوة 16.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x}{4}$ إلى بسط الكسر.

$12 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

خطوة 16.6.2

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$4 (3) \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

خطوة 16.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot 3 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

خطوة 16.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$3 (- x) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

خطوة 16.7

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 x + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

خطوة 16.8

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.8.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$- 3 x + 4 (3) \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

خطوة 16.8.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 16.8.3

ألغِ العامل المشترك.

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

خطوة 16.8.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 3 x + 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

خطوة 16.9

اجمع $3$ و $\frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

$- 3 x + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

خطوة 16.10

لكتابة $- 3 x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 3 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

خطوة 16.11

اجمع $- 3 x$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 x \cdot 2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

خطوة 16.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

خطوة 16.13

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.13.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.13.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x \cdot 2$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

خطوة 16.13.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2 + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

خطوة 16.13.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{3 (- 2 x + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

خطوة 16.14

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

خطوة 16.15

أخرِج العامل $- 1$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{3 (- (2 x) - (- 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

خطوة 16.16

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - (- 2 x^{2})$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

خطوة 16.17

أخرِج العامل $- 1$ من $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

خطوة 16.18

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

خطوة 16.19

أعِد كتابة $- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ بالصيغة $- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

خطوة 16.20

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

خطوة 17

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{3}{2} (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$