حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{4 x + 3}} d x + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 4 x + 3$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 4 x + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 + 0$

خطوة 5.1.4.2

أضف $4$ و $0$ .

$4$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 6.2

انقُل $4$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $2$ .

$\frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 8.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 8.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 8.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 8.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 8.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 8.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 8.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 8.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 8.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{4}{x^{5}} d x$

خطوة 11

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - (4 \int \frac{1}{x^{5}} d x)$

خطوة 12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

خطوة 12.2

انقُل $x^{5}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

خطوة 12.3

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

خطوة 12.3.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 \int x^{- 5} d x$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 5}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

اجمع $x^{- 4}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

خطوة 14.1.2

انقُل $x^{- 4}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

خطوة 14.2

بسّط.

$u^{\frac{1}{2}} - 4 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

خطوة 14.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$u^{\frac{1}{2}} + 4 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

خطوة 14.3.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

خطوة 14.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{4 x^{4}} + C$

خطوة 14.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$u^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x + 3$ .

${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{2}{\sqrt{4 x + 3}} - \frac{4}{x^{5}}$ .

$F (x) =$ ${(4 x + 3)}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{4}} + C$