حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cos (π x)}{e^{x} - \sqrt{e}}

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cos (π x)}{e^{x} - \sqrt{e}}$

خطوة 1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب

x

$x$ من

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

خطوة 2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب

x

$x$ من

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

خطوة 3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (lim_{x \to \frac{1}{2}} π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (lim_{x \to \frac{1}{2}} π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

خطوة 4

انقُل الحد

π

$π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى

x

$x$ .

\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

خطوة 5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب

x

$x$ من

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}$

خطوة 6

انقُل النهاية إلى الأُس.

\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}$

خطوة 7

احسِب قيمة حد

\sqrt{e}

$\sqrt{e}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب

x

$x$ من

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

خطوة 8

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث

x

$x$ بـ

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة حد

x

$x$ بالتعويض عن

x

$x$ بـ

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

خطوة 8.2

احسِب قيمة حد

x

$x$ بالتعويض عن

x

$x$ بـ

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة حد

x

$x$ بالتعويض عن

x

$x$ بـ

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ و

\cos (π \frac{1}{2})

$\cos (π \frac{1}{2})$ .

\frac{\frac{\cos (π \frac{1}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}

$\frac{\frac{\cos (π \frac{1}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

خطوة 9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع

π

$π$ و

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{\frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}

$\frac{\frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

خطوة 9.2.2

القيمة الدقيقة لـ

\cos (\frac{π}{2})

$\cos (\frac{π}{2})$ هي

0

$0$ .

\frac{\frac{0}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}

$\frac{\frac{0}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

\frac{\frac{0}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}

$\frac{\frac{0}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

خطوة 9.3

اقسِم

0

$0$ على

2

$2$ .

\frac{0}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}

$\frac{0}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

خطوة 9.4

اقسِم

0

$0$ على

e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}

$e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}$ .

0

$0$

0

$0$