حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} \frac{x}{1 - x} d x$

خطوة 1

أعِد ترتيب $1$ و $- x$ .

$\int_{0}^{2} \frac{x}{- x + 1} d x$

خطوة 2

اقسِم $x$ على $- x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

خطوة 2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

خطوة 2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

خطوة 2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

خطوة 2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

خطوة 2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int_{0}^{2} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$- x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = - x + 1$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = - x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 5.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x + 1$ .

$u_{lower} = - 0 + 1$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 5.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x + 1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2 + 1$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$u_{upper} = - 2 + 1$

خطوة 5.5.2

أضف $- 2$ و $1$ .

$u_{upper} = - 1$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} - \frac{1}{u} d u$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- x]_{0}^{2} - \int_{1}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $- x$ في $2$ وفي $0$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $- 1$ وفي $1$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 9.3.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$- 2 - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 10

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 - \ln (\frac{| - 1 |}{| 1 |})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $- 1$ و $0$ تساوي $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{| 1 |})$

خطوة 11.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{1})$

خطوة 11.3

اقسِم $1$ على $1$ .

$- 2 - \ln (1)$

خطوة 11.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$- 2 - 0$

خطوة 11.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 2 + 0$

خطوة 11.6

أضف $- 2$ و $0$ .

$- 2$

خطوة 12