حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\tan^{4} (x)$

خطوة 1

اكتب $\tan^{4} (x)$ في صورة دالة.

$f (x) = \tan^{4} (x)$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \tan^{4} (x) d x$

خطوة 4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} d x$

خطوة 4.2

أعِد كتابة ${\tan (x)}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x$

خطوة 5

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (x)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x$

خطوة 6

بسّط.

$\int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

خطوة 9

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$x + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

خطوة 10

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x$

خطوة 11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد كتابة $4$ في صورة $2$ زائد $2$

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

خطوة 11.2

أعِد كتابة ${\sec (x)}^{2 + 2}$ بالصيغة $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 12

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 13

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . إذن $d u = \sec^{2} (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

افترض أن $u = \tan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 13.1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

خطوة 13.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u$

خطوة 14

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u$

خطوة 15

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u$

خطوة 16

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 17

بسّط.

$x - 2 \tan (x) + u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

خطوة 18

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$x - 2 \tan (x) + \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

خطوة 19

أضف $- 2 \tan (x)$ و $\tan (x)$ .

$x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

خطوة 20

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \tan^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$