حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

خطوة 3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \frac{1}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 5 - 7 x$ . إذن $d u = - 7 d x$ ، لذا $- \frac{1}{7} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 5 - 7 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $5 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 7 x]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 - 7 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

خطوة 4.1.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $- 7$ في $1$ .

$0 - 7$

خطوة 4.1.4

اطرح $7$ من $0$ .

$- 7$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 7} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 \int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{7}) d u$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{1}{u^{4}}$ في $\frac{1}{7}$ .

$3 \int - \frac{1}{u^{4} \cdot 7} d u$

خطوة 5.3

انقُل $7$ إلى يسار $u^{4}$ .

$3 \int - \frac{1}{7 u^{4}} d u$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 (- \int \frac{1}{7 u^{4}} d u)$

خطوة 7

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{7 u^{4}} d u$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$- 3 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اجمع $\frac{1}{7}$ و $- 3$ .

$\frac{- 3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

خطوة 9.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

خطوة 9.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

انقُل $u^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

خطوة 9.2.2

اضرب الأُسس في ${(u^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

خطوة 9.2.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{- 4} d u$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد كتابة $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ بالصيغة $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

خطوة 11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب $\frac{1}{u^{3}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

خطوة 11.2.2

انقُل $3$ إلى يسار $u^{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

خطوة 11.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{3}{7}) \frac{1}{3 u^{3}} + C$

خطوة 11.2.4

اضرب $\frac{3}{7}$ في $1$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

خطوة 11.2.5

اضرب $\frac{3}{7}$ في $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{3}{7 (3 u^{3})} + C$

خطوة 11.2.6

اضرب $3$ في $7$ .

$\frac{3}{21 u^{3}} + C$

خطوة 11.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.7.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (1)}{21 u^{3}} + C$

خطوة 11.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $21 u^{3}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (7 u^{3})} + C$

خطوة 11.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (7 u^{3})} + C$

خطوة 11.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{7 u^{3}} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 - 7 x$ .

$\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$