حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x}{\sin^{2} (x)}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x}{\sin^{2} (x)} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب في $1$ .

$\int \frac{x}{\sin^{2} (x) \cdot 1} d x$

خطوة 4.2

افصِل الكسور.

$\int \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

خطوة 4.3

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ إلى $\csc^{2} (x)$ .

$\int \frac{x}{1} \csc^{2} (x) d x$

خطوة 4.4

اقسِم $x$ على $1$ .

$\int x \csc^{2} (x) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \csc^{2} (x)$ .

$x (- \cot (x)) - \int - \cot (x) d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x (- \cot (x)) - - \int \cot (x) d x$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x (- \cot (x)) + 1 \int \cot (x) d x$

خطوة 7.2

اضرب $\int \cot (x) d x$ في $1$ .

$x (- \cot (x)) + \int \cot (x) d x$

خطوة 8

تكامل $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| \sin (x) |)$ .

$x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$

خطوة 9

أعِد كتابة $x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$ بالصيغة $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$ .

$- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$