حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - 2 x}{x^{2}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1 - 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.1.3

اضرب $- 2$ في $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.3

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - 2 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - 1 - 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.5.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.6

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2}{2 x}$

خطوة 2

بما أن الدالة تقترب بمقدار $\infty$ من جهة اليسار وبمقدار $- \infty$ من جهة اليمين، إذن لا توجد نهاية.

$لا يوجد$