حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)}$

خطوة 1

اكتب $\frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 1 + 3 \cos (x)$ . إذن $d u = - 3 \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{3} d u = \sin (x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 1 + 3 \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $1 + 3 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 3 \cos (x)]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 3 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 4.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 4.1.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$0 + 3 (- \sin (x))$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$0 - 3 \sin (x)$

خطوة 4.1.4

اطرح $3 \sin (x)$ من $0$ .

$- 3 \sin (x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

خطوة 5.3

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{3 u} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 9

بسّط.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + 3 \cos (x)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 \cos (x) |) + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 \cos (x) |) + C$