حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة $8$ في صورة $9$ زائد $- 1$

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 + 2 x - x^{2}}} d x$

خطوة 2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}} d x$

خطوة 2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

خطوة 2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

خطوة 2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x$

خطوة 3

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 1 - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 1 - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 4.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\arcsin (\frac{u}{3})$

$- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$

خطوة 7

أعِد كتابة $- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$ بالصيغة $- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} (1 - x)) + C$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \arcsin (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- x)) + C$

خطوة 9.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- x)) + C$

خطوة 9.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} x) + C$