حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{x^{2} + x - 2}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{x^{2} + x - 2}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + x - 2}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} + x - 2} d x$

خطوة 4

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

حلّل $x^{2} + x - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $1$ .

$- 1, 2$

خطوة 4.1.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{1}{(x - 1) (x + 2)}$

خطوة 4.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

خطوة 4.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$

خطوة 4.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{1 (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 4.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 4.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 4.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 4.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 4.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 4.1.7.1.2

اقسِم $(A) (x + 2)$ على $1$ .

$1 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 4.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 4.1.7.3

انقُل $2$ إلى يسار $A$ .

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 4.1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

خطوة 4.1.7.4.2

اقسِم $(B) (x - 1)$ على $1$ .

$1 = A x + 2 A + (B) (x - 1)$

خطوة 4.1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 1$

خطوة 4.1.7.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $B$ .

$1 = A x + 2 A + B x - 1 \cdot B$

خطوة 4.1.7.7

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$1 = A x + 2 A + B x - B$

خطوة 4.1.8

انقُل $2 A$ .

$1 = A x + B x + 2 A - B$

خطوة 4.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 4.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = 2 A - 1 B$

خطوة 4.2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = 2 A - 1 B$

$0 = A + B$

$1 = 2 A - 1 B$

خطوة 4.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $0 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = 2 A - 1 B$

خطوة 4.3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = - B$

$1 = 2 A - 1 B$

$A = - B$

$1 = 2 A - 1 B$

خطوة 4.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = 2 A - 1 B$ بـ $- B$ .

$1 = 2 (- B) - 1 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

بسّط $2 (- B) - 1 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$1 = - 2 B - 1 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.2.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$1 = - 2 B - B$

$A = - B$

$1 = - 2 B - B$

$A = - B$

خطوة 4.3.2.2.1.2

اطرح $B$ من $- 2 B$ .

$1 = - 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.3

أوجِد قيمة $B$ في $1 = - 3 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 3 B = 1$ .

$- 3 B = 1$

$A = - B$

خطوة 4.3.3.2

اقسِم كل حد في $- 3 B = 1$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 3 B = 1$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$A = - B$

خطوة 4.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$A = - B$

خطوة 4.3.3.2.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{1}{- 3}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 3}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 3}$

$A = - B$

خطوة 4.3.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$B = - \frac{1}{3}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = - B$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = - B$

خطوة 4.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $- \frac{1}{3}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = - B$ بـ $- \frac{1}{3}$ .

$A = - (- \frac{1}{3})$

$B = - \frac{1}{3}$

خطوة 4.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

اضرب $- (- \frac{1}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A = 1 (\frac{1}{3})$

$B = - \frac{1}{3}$

خطوة 4.3.4.2.1.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = - \frac{1}{3}$

خطوة 4.3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = \frac{1}{3}, B = - \frac{1}{3}$

خطوة 4.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 2}$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 2}$

خطوة 4.5.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 2}$

خطوة 4.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{3 (x - 1)} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x + 2}$

خطوة 4.5.4

اضرب $\frac{1}{x + 2}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 (x - 1)} - \frac{1}{(x + 2) \cdot 3}$

خطوة 4.5.5

انقُل $3$ إلى يسار $x + 2$ .

$\int \frac{1}{3 (x - 1)} - \frac{1}{3 (x + 2)} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{3 (x + 2)} d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{3 (x + 2)} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{1} = x - 1$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{1} = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 7.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{3 (x + 2)} d x$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{3 (x + 2)} d x$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{3 (x + 2)} d x$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

خطوة 11

لنفترض أن $u_{2} = x + 2$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u_{2} = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 11.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 11.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 11.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 13

بسّط.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x - 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 2$ .

$\frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| x + 2 |) + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{x^{2} + x - 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| x + 2 |) + C$