حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{2 x + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\int \frac{2 (x) + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int \frac{2 (x) + 2 (1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x^{2} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 6 x}} d x$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $3 x$ من $6 x$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 3 x (2)}} d x$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $3 x$ من $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \frac{x + 1}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 3 x (x + 2)$ . إذن $d u = (6 x + 6) d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = (x + 1) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 3 x (x + 2)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $3 x (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x + 2)]$

خطوة 3.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x (x + 2)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x + 2$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.1.4.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.1.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$3 (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.1.4.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$3 (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.1.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (x + (x + 2) \cdot 1)$

خطوة 3.1.4.6

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.6.1

اضرب $x + 2$ في $1$ .

$3 (x + x + 2)$

خطوة 3.1.4.6.2

أضف $x$ و $x$ .

$3 (2 x + 2)$

خطوة 3.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

خطوة 3.1.5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.2.1

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x + 3 \cdot 2$

خطوة 3.1.5.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$6 x + 6$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

خطوة 4.2

انقُل $6$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 6.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 6.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 6.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 6.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 6.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x (x + 2)$ .

$\frac{2}{3} {(3 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}} + C$