حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x^{3} - 2 x^{2} + x} d x d x$

خطوة 1

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} - 2 x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} + x}$

خطوة 1.1.1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x}$

خطوة 1.1.1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x^{1}}$

خطوة 1.1.1.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.1.5

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1}$

خطوة 1.1.1.1.6

أخرِج العامل $x$ من $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 2 x + 1)}$

خطوة 1.1.1.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{1}{x (x^{2} - 2 x + 1^{2})}$

خطوة 1.1.1.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 1.1.1.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{1}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}$

خطوة 1.1.1.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{1}{x {(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $C$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$

خطوة 1.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{1 (x {(x - 1)}^{2})}{x {(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x {(x - 1)}^{2})}{x {(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 ({(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x {(x - 1)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.1.2

اقسِم $A ({(x - 1)}^{2})$ على $1$ .

$1 = A ({(x - 1)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.2

أعِد كتابة ${(x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 = A ((x - 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.3

وسّع $(x - 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$1 = A (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.4.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$1 = A (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.4.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$1 = A (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.4.1.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$1 = A (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.4.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 = A (x^{2} - x - x + 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.4.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$1 = A (x^{2} - 2 x + 1) + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x^{2} + A (- 2 x) + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.6.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.6.2

اضرب $A$ في $1$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{(B) (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.7

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + \frac{B (x {(x - 1)}^{2})}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.7.2

اقسِم $(B) (x)$ على $1$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 1)}^{2})}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.8

احذِف العامل المشترك لـ ${(x - 1)}^{2}$ و $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.8.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $(C) (x {(x - 1)}^{2})$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{x - 1}$

خطوة 1.1.7.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.8.2.1

اضرب في $1$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{(x - 1) \cdot 1}$

خطوة 1.1.7.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{(x - 1) (C (x (x - 1)))}{(x - 1) \cdot 1}$

خطوة 1.1.7.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + \frac{C (x (x - 1))}{1}$

خطوة 1.1.7.8.2.4

اقسِم $C (x (x - 1))$ على $1$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x (x - 1))$

خطوة 1.1.7.9

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 1)$

خطوة 1.1.7.10

اضرب $x$ في $x$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 1)$

خطوة 1.1.7.11

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} - 1 \cdot x)$

خطوة 1.1.7.12

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C (x^{2} - x)$

خطوة 1.1.7.13

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C x^{2} + C (- x)$

خطوة 1.1.7.14

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 = A x^{2} - 2 A x + A + B x + C x^{2} - C x$

خطوة 1.1.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.8.1

انقُل $A$ .

$1 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + C x^{2} - C x$

خطوة 1.1.8.2

أعِد ترتيب $B$ و $x$ .

$1 = A x^{2} - 2 x A + A + B x + C x^{2} - C x$

خطوة 1.1.8.3

انقُل $A$ .

$1 = A x^{2} - 2 x A + B x + C x^{2} - C x + A$

خطوة 1.1.8.4

انقُل $B x$ .

$1 = A x^{2} - 2 x A + C x^{2} + B x - C x + A$

خطوة 1.1.8.5

انقُل $- 2 x A$ .

$1 = A x^{2} + C x^{2} - 2 x A + B x - C x + A$

خطوة 1.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + C$

خطوة 1.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = - 2 A + B - 1 C$

خطوة 1.2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A$

خطوة 1.2.4

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$1 = A$

$0 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$1 = A$

خطوة 1.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + C$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

خطوة 1.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + C$ بـ $1$ .

$0 = (1) + C$

$A = 1$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

خطوة 1.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

احذِف الأقواس.

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 A + B - 1 C$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = - 2 A + B - 1 C$ بـ $1$ .

$0 = - 2 \cdot 1 + B - 1 C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

خطوة 1.3.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.4.1.1

اضرب $- 2$ في $1$ .

$0 = - 2 + B - 1 C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

خطوة 1.3.2.4.1.2

أعِد كتابة $- 1 C$ بالصيغة $- C$ .

$0 = - 2 + B - C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 + B - C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 + B - C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

$0 = - 2 + B - C$

$0 = 1 + C$

$A = 1$

خطوة 1.3.3

أوجِد قيمة $C$ في $0 = 1 + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + C = 0$ .

$1 + C = 0$

$0 = - 2 + B - C$

$A = 1$

خطوة 1.3.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$C = - 1$

$0 = - 2 + B - C$

$A = 1$

$C = - 1$

$0 = - 2 + B - C$

$A = 1$

خطوة 1.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $- 1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $0 = - 2 + B - C$ بـ $- 1$ .

$0 = - 2 + B - (- 1)$

$C = - 1$

$A = 1$

خطوة 1.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1

بسّط $- 2 + B - (- 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$0 = - 2 + B + 1$

$C = - 1$

$A = 1$

خطوة 1.3.4.2.1.2

أضف $- 2$ و $1$ .

$0 = B - 1$

$C = - 1$

$A = 1$

$0 = B - 1$

$C = - 1$

$A = 1$

$0 = B - 1$

$C = - 1$

$A = 1$

$0 = B - 1$

$C = - 1$

$A = 1$

خطوة 1.3.5

أوجِد قيمة $B$ في $0 = B - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $B - 1 = 0$ .

$B - 1 = 0$

$C = - 1$

$A = 1$

خطوة 1.3.5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$B = 1$

$C = - 1$

$A = 1$

$B = 1$

$C = - 1$

$A = 1$

خطوة 1.3.6

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = 1 C = - 1 A = 1$

خطوة 1.3.7

اسرِد جميع الحلول.

$B = 1, C = - 1, A = 1$

خطوة 1.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{C}{x - 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 1}$

خطوة 1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{1}{x} + \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{x - 1} d x d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$(\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

خطوة 3

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$(\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} d x + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{1} = x - 1$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{1} = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 4.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$(\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل ${u_{1}}^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$(\ln (| x |) + C + \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\ln (| x |) + C + \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(\ln (| x |) + C + \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{1}}^{- 2}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$(\ln (| x |) + C - {u_{1}}^{- 1} + C + \int - \frac{1}{x - 1} d x) d x$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$(\ln (| x |) + C - {u_{1}}^{- 1} + C - \int \frac{1}{x - 1} d x) d x$

خطوة 8

لنفترض أن $u_{2} = x - 1$ . إذن $d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u_{2} = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 8.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 8.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$(\ln (| x |) + C - {u_{1}}^{- 1} + C - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) d x$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$(\ln (| x |) + C - {u_{1}}^{- 1} + C - (\ln (| u_{2} |) + C)) d x$

خطوة 10

بسّط.

$(- {u_{1}}^{- 1} + \ln (\frac{| x |}{| u_{2} |})) d x + C$

خطوة 11

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x - 1$ .

$(- {(x - 1)}^{- 1} + \ln (\frac{| x |}{| u_{2} |})) d x + C$

خطوة 11.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 1$ .

$(- {(x - 1)}^{- 1} + \ln (\frac{| x |}{| x - 1 |})) d x + C$