حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{4 t^{3} - t^{2} + 16 t}{t^{2} + 4} d t$

خطوة 1

اقسِم $4 t^{3} - t^{2} + 16 t$ على $t^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 t^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $t^{2}$ .

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 t^{3} + 0 + 16 t$

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

$4 t$

$t^{2}$

$0 t$

$4$

$4 t^{3}$

$t^{2}$

$16 t$

$0$

$4 t^{3}$

$0$

$16 t$

$t^{2}$

$0$

خطوة 1.6

أخرِج الحد التالي من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

						$4 t$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

خطوة 1.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- t^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $t^{2}$ .

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$

خطوة 1.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							-	$t^{2}$	+	$0$	-	$4$

خطوة 1.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- t^{2} + 0 - 4$

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$

خطوة 1.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

						$4 t$	-	$1$
$t^{2}$	+	$0 t$	+	$4$		$4 t^{3}$	-	$t^{2}$	+	$16 t$	+	$0$
					-	$4 t^{3}$	-	$0$	-	$16 t$
							-	$t^{2}$	+	$0$	+	$0$
							+	$t^{2}$	-	$0$	+	$4$
											+	$4$

خطوة 1.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 4 t - 1 + \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 4 t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - 1 d t + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$4 (\frac{1}{2} t^{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + \int \frac{4}{t^{2} + 4} d t$

خطوة 7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{t^{2} + 4} d t$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد ترتيب $t^{2}$ و $4$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{4 + t^{2}} d t$

خطوة 8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 \int \frac{1}{2^{2} + t^{2}} d t$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{2^{2} + t^{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{t}{2}) + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arctan (\frac{t}{2})$ .

$4 (\frac{t^{2}}{2} + C) - t + C + 4 (\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C)$

خطوة 10.2

بسّط.

$2 t^{2} - t + 4 \frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

اجمع $4$ و $\frac{\arctan (\frac{t}{2})}{2}$ .

$2 t^{2} - t + \frac{4 \arctan (\frac{t}{2})}{2} + C$

خطوة 10.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 \arctan (\frac{t}{2})$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2} + C$

خطوة 10.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 (1)} + C$

خطوة 10.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 t^{2} - t + \frac{2 (2 \arctan (\frac{t}{2}))}{2 \cdot 1} + C$

خطوة 10.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 t^{2} - t + \frac{2 \arctan (\frac{t}{2})}{1} + C$

خطوة 10.3.2.2.4

اقسِم $2 \arctan (\frac{t}{2})$ على $1$ .

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{t}{2}) + C$

خطوة 10.4

أعِد ترتيب الحدود.

$2 t^{2} - t + 2 \arctan (\frac{1}{2} t) + C$