حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1 d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 5

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - \int \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اجمع $\frac{3}{4}$ و $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 9.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 9.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

انقُل $x^{4}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 9.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{4})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 9.2.2.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int x^{- 4} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $x^{- 3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 11.2

انقُل $x^{- 3}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 12

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 14

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 15

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 16

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (8 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x) + \int - 1 d x$

خطوة 17

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

اضرب $8$ في $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 17.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 17.3

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 17.4

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - 1 d x$

خطوة 17.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 17.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 1 d x$

خطوة 18

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - 1 d x$

خطوة 19

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - x + C$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

بسّط.

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5 x^{4}}{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$

خطوة 20.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5}{4} x^{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$

خطوة 21

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5}{4} x^{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$