حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$ , $(- 1, 0)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = 0$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.3.5

اضرب $y$ في $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + 2 x$

خطوة 1.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y') - 2 y + 2 x$

خطوة 1.2.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' - 2 y + 2 x$

خطوة 1.2.5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y$

خطوة 1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y = 0$

خطوة 1.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اطرح $2 y^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' + 2 x - 2 y = - 2 y^{2} x$

خطوة 1.5.1.2

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' - 2 y = - 2 y^{2} x - 2 x$

خطوة 1.5.1.3

أضف $2 y$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

خطوة 1.5.2

أخرِج العامل $2 x y'$ من $2 x^{2} y y' - 2 x y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $2 x y'$ من $2 x^{2} y y'$ .

$2 x y' (x y) - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

خطوة 1.5.2.2

أخرِج العامل $2 x y'$ من $- 2 x y'$ .

$2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

خطوة 1.5.2.3

أخرِج العامل $2 x y'$ من $2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1$ .

$2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

خطوة 1.5.3

اقسِم كل حد في $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ على $2 x (x y - 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

اقسِم كل حد في $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ على $2 x (x y - 1)$ .

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x (x y - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x (x y - 1)$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.1.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.1.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.3

لكتابة $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x y - 1) x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.4.1

اضرب $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ في $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{(x y - 1) x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.4.2

أعِد ترتيب عوامل $(x y - 1) x$ .

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{x (x y - 1)} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x + y}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y' = \frac{- y^{2} x - 1 x + y}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.6.2

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$y' = \frac{- y^{2} x - x + y}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.7

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.7.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x) - x + y}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.7.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x) - (x) + y}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.7.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y^{2} x) - (x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) + y}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.7.4

أخرِج العامل $- 1$ من $y$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) - 1 (- y)}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.7.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y^{2} x + x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.7.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.3.7.6.1

أعِد كتابة $- (y^{2} x + x - y)$ بالصيغة $- 1 (y^{2} x + x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.5.3.3.7.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

خطوة 1.7

احسِب القيمة عند $x = - 1$ و $y = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$- \frac{y^{2} (- 1) - 1 - y}{(- 1) ((- 1) \cdot y - 1)}$

خطوة 1.7.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $0$ في العبارة.

$- \frac{{(0)}^{2} (- 1) - 1 - (0)}{(- 1) ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

خطوة 1.7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{0 \cdot - 1 - 1 - (0)}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

خطوة 1.7.3.2

اضرب $0$ في $- 1$ .

$- \frac{0 - 1 - (0)}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

خطوة 1.7.3.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- \frac{0 - 1 + 0}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

خطوة 1.7.3.4

أضف $0 - 1$ و $0$ .

$- \frac{0 - 1}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

خطوة 1.7.3.5

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{- 1}{- 1 ((- 1) \cdot (0) - 1)}$

خطوة 1.7.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- \frac{- 1}{- 1 (0 - 1)}$

خطوة 1.7.4.2

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{- 1}{- 1 \cdot - 1}$

خطوة 1.7.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{- 1}{1}$

خطوة 1.7.5.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- - 1$

خطوة 1.7.5.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $1$ ونقطة مُعطاة $(- 1, 0)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (- 1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $y$ و $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 1)$

خطوة 2.3.2

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$y = x + 1$

خطوة 3