حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2} + 5$ و $g (x) = 3 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

خطوة 3.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(x^{2} + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

خطوة 3.2.4

اضرب $3$ في $1$ .

$(x^{2} + 5) (3 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

خطوة 3.2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

خطوة 3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أضف $3$ و $0$ .

$(x^{2} + 5) \cdot 3 + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

خطوة 3.2.6.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2} + 5$ .

$3 \cdot (x^{2} + 5) + (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

خطوة 3.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 3.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

خطوة 3.2.9

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x + 0)$

خطوة 3.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$3 (x^{2} + 5) + (3 x + 1) (2 x)$

خطوة 3.2.10.2

انقُل $2$ إلى يسار $3 x + 1$ .

$3 (x^{2} + 5) + 2 \cdot (3 x + 1) x$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x + 1) x$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x$

خطوة 3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} + 3 \cdot 5 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

خطوة 3.3.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

اضرب $3$ في $5$ .

$3 x^{2} + 15 + 2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x$

خطوة 3.3.4.2

اضرب $3$ في $2$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x \cdot x + 2 \cdot 1 x$

خطوة 3.3.4.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x$

خطوة 3.3.4.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x$

خطوة 3.3.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x$

خطوة 3.3.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 \cdot 1 x$

خطوة 3.3.4.7

اضرب $2$ في $1$ .

$3 x^{2} + 15 + 6 x^{2} + 2 x$

خطوة 3.3.4.8

أضف $3 x^{2}$ و $6 x^{2}$ .

$9 x^{2} + 15 + 2 x$

خطوة 3.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$9 x^{2} + 2 x + 15$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = 9 x^{2} + 2 x + 15$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 2 x + 15$