حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 1}}{x - 2}$

خطوة 1

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{- 2}{x}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

خطوة 2.2.2

اقسِم $4$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{2}{x}}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

خطوة 2.4

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

خطوة 2.6

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

خطوة 3

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{2}{x}}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

خطوة 4.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}$

خطوة 4.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

خطوة 5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 - 2 \cdot 0}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{\sqrt{4}}{1 - 2 \cdot 0}$

خطوة 6.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{1 - 2 \cdot 0}$

خطوة 6.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{2}{1 - 2 \cdot 0}$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $- 2$ في $0$ .

$\frac{2}{1 + 0}$

خطوة 6.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2}{1}$

خطوة 6.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$