حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 2 x + 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 2 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 4.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

خطوة 5.2

اجمع.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 5.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\int \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 5.6

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 5.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 5.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 5.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 5.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 5.7.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 5.8

اضرب $\frac{u - 1}{2 \sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 5.9

اضرب $2$ في $2$ .

$\int \frac{u - 1}{4 \sqrt{u}} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 7

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 7.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 7.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 7.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 7.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 8

وسّع $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 8.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 8.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 8.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 8.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 8.6

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{4} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

خطوة 13

بسّط.

$\frac{1}{4} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

لكتابة $- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

خطوة 15.2

اجمع $- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

خطوة 15.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

خطوة 15.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

أخرِج العامل $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1.1

انقُل ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

خطوة 15.4.1.2

أخرِج العامل $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

خطوة 15.4.1.3

أخرِج العامل $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $- 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)}{3} + C$

خطوة 15.4.1.4

أخرِج العامل $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3)}{3} + C$

خطوة 15.4.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 3)}{3} + C$

خطوة 15.4.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.3.1

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{1} - 3)}{3} + C$

خطوة 15.4.3.2

بسّط.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 1 - 3)}{3} + C$

خطوة 15.4.4

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2)}{3} + C$

خطوة 15.4.5

أخرِج العامل $2$ من $2 x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) - 2)}{3} + C$

خطوة 15.4.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (- 1))}{3} + C$

خطوة 15.4.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x - 1))}{3} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x - 1)}{3} + C$

خطوة 15.4.6

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

خطوة 15.5

اجمع.

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

خطوة 15.6

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

خطوة 15.7

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 ({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{3} + C$

خطوة 15.8

اضرب ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

خطوة 16

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ .

$F (x) =$ $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$