حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{1}{x})}^{x}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(\frac{1}{x})}^{x}$ بالصيغة $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{1}{x})}$

خطوة 2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{1}{x})}$

خطوة 3

أعِد كتابة $x \ln (\frac{1}{x})$ بالصيغة $\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

خطوة 4

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

خطوة 4.1.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

خطوة 4.1.3

بما أن البسط عدد ثابت والقاسم يقترب من $0$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من قيمة غير متناهية.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 4.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

خطوة 4.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 4.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.4

اضرب $x$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.5

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 1 x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1} x^{- 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{1 - 2}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.9

اطرح $2$ من $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- x^{- 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.10

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 4.3.11

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

خطوة 4.3.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}$

خطوة 4.3.13

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 4.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}$

خطوة 4.5

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x} x^{2}}$

خطوة 4.5.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} x^{2}}$

خطوة 4.5.3

اجمع $\frac{1}{x}$ و $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x}}$

خطوة 4.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x}}$

خطوة 4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x^{1}}}$

خطوة 4.6.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

خطوة 4.6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}$

خطوة 4.6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{1}}$

خطوة 4.6.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x}$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{0}$

خطوة 6

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1$