حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{3} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{6} x^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{3} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{6} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{3} x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$\frac{1}{3} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $6$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $\frac{6}{3}$ و $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x^{5}$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{3} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (2 x^{5})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

خطوة 1.1.2.5.2.4

اقسِم $2 x^{5}$ على $1$ .

$2 x^{5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{5}{6} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $\frac{5}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{5}{6} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{5}{6} (4 x^{3})$

خطوة 1.1.4.3

اجمع $4$ و $\frac{5}{6}$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{4 \cdot 5}{6} x^{3}$

خطوة 1.1.4.4

اضرب $4$ في $5$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{20}{6} x^{3}$

خطوة 1.1.4.5

اجمع $\frac{20}{6}$ و $x^{3}$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{20 x^{3}}{6}$

خطوة 1.1.4.6

احذِف العامل المشترك لـ $20$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.6.1

أخرِج العامل $2$ من $20 x^{3}$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (10 x^{3})}{6}$

خطوة 1.1.4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (10 x^{3})}{2 (3)}$

خطوة 1.1.4.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{2 (10 x^{3})}{2 \cdot 3}$

خطوة 1.1.4.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = 2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{10 x^{3}}{3}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{5} + 5 x^{4} + \frac{10 x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $5$ في $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$10 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $4$ في $5$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $\frac{10}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{10 x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{10}{3} (3 x^{2})$

خطوة 1.2.4.3

اجمع $3$ و $\frac{10}{3}$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 \cdot 10}{3} x^{2}$

خطوة 1.2.4.4

اضرب $3$ في $10$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{30}{3} x^{2}$

خطوة 1.2.4.5

اجمع $\frac{30}{3}$ و $x^{2}$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{30 x^{2}}{3}$

خطوة 1.2.4.6

احذِف العامل المشترك لـ $30$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.6.1

أخرِج العامل $3$ من $30 x^{2}$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (10 x^{2})}{3}$

خطوة 1.2.4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (10 x^{2})}{3 (1)}$

خطوة 1.2.4.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{3 (10 x^{2})}{3 \cdot 1}$

خطوة 1.2.4.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$10 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{10 x^{2}}{1}$

خطوة 1.2.4.6.2.4

اقسِم $10 x^{2}$ على $1$ .

$f'' (x) = 10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x^{2}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x^{2}$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x^{2}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $10 x^{2}$ من $10 x^{4} + 20 x^{3} + 10 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $10 x^{2}$ من $10 x^{4}$ .

$10 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 10 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $10 x^{2}$ من $20 x^{3}$ .

$10 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2} (2 x) + 10 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $10 x^{2}$ من $10 x^{2}$ .

$10 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2} (2 x) + 10 x^{2} (1) = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $10 x^{2}$ من $10 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2} (2 x)$ .

$10 x^{2} (x^{2} + 2 x) + 10 x^{2} (1) = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $10 x^{2}$ من $10 x^{2} (x^{2} + 2 x) + 10 x^{2} (1)$ .

$10 x^{2} (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$10 x^{2} (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 2.2.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$10 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.2.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$10 x^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة ${(x + 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة ${(x + 1)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في ${(x + 1)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 2.5.2.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $10 x^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \frac{1}{3} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{6} x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6} + {(0)}^{5} + \frac{5}{6} \cdot {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{1}{3} \cdot 0 + {(0)}^{5} + \frac{5}{6} \cdot {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{5} + \frac{5}{6} \cdot {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 0 + \frac{5}{6} \cdot {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 0 + \frac{5}{6} \cdot 0$

خطوة 3.1.2.1.5

اضرب $\frac{5}{6}$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \frac{1}{3} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{6} x^{4}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = \frac{1}{3} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{6} x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{6} + {(- 1)}^{5} + \frac{5}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $6$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot 1 + {(- 1)}^{5} + \frac{5}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} + {(- 1)}^{5} + \frac{5}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{5}{6} \cdot {(- 1)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{5}{6} \cdot 1$

خطوة 3.3.2.1.5

اضرب $\frac{5}{6}$ في $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} - 1 + \frac{5}{6}$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - 1 + \frac{5}{6}$

خطوة 3.3.2.2.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{2}{3 \cdot 2} - 1 + \frac{5}{6}$

خطوة 3.3.2.2.3

اكتب $- 1$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 1) = \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} + \frac{5}{6}$

خطوة 3.3.2.2.4

اضرب $\frac{- 1}{1}$ في $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{6}{6} + \frac{5}{6}$

خطوة 3.3.2.2.5

اضرب $\frac{- 1}{1}$ في $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 6}{6} + \frac{5}{6}$

خطوة 3.3.2.2.6

أعِد ترتيب عوامل $3 \cdot 2$ .

$f (- 1) = \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{- 1 \cdot 6}{6} + \frac{5}{6}$

خطوة 3.3.2.2.7

اضرب $2$ في $3$ .

$f (- 1) = \frac{2}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6} + \frac{5}{6}$

خطوة 3.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 1) = \frac{2 - 1 \cdot 6 + 5}{6}$

خطوة 3.3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$f (- 1) = \frac{2 - 6 + 5}{6}$

خطوة 3.3.2.4.2

اطرح $6$ من $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 4 + 5}{6}$

خطوة 3.3.2.4.3

أضف $- 4$ و $5$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6}$

خطوة 3.3.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = \frac{1}{3} x^{6} + x^{5} + \frac{5}{6} x^{4}$ هي $(- 1, \frac{1}{6})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, \frac{1}{6})$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (- 1, \frac{1}{6})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.1$ في العبارة.

$f'' (- 1.1) = 10 {(- 1.1)}^{4} + 20 {(- 1.1)}^{3} + 10 {(- 1.1)}^{2}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 1.1) = 10 \cdot 1.4641 + 20 {(- 1.1)}^{3} + 10 {(- 1.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $10$ في $1.4641$ .

$f'' (- 1.1) = 14.641 + 20 {(- 1.1)}^{3} + 10 {(- 1.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.3

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1.1) = 14.641 + 20 \cdot - 1.331 + 10 {(- 1.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $20$ في $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = 14.641 - 26.62 + 10 {(- 1.1)}^{2}$

خطوة 5.2.1.5

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.1) = 14.641 - 26.62 + 10 \cdot 1.21$

خطوة 5.2.1.6

اضرب $10$ في $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.641 - 26.62 + 12.1$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $26.62$ من $14.641$ .

$f'' (- 1.1) = - 11.979 + 12.1$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 11.979$ و $12.1$ .

$f'' (- 1.1) = 0.121$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $0.121$ .

$0.121$

خطوة 5.3

في $- 1.1$ ، المشتق الثاني هو $0.121$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 1)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ في العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 {(- \frac{1}{2})}^{4} + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ في $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 (\frac{1}{2^{4}}) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 10 (\frac{1}{16}) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 (5) (\frac{1}{16}) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.6.2

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (5 (\frac{1}{2 \cdot 8})) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (5 (\frac{1}{2 \cdot 8})) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 5 (\frac{1}{8}) + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.7

اجمع $5$ و $\frac{1}{8}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.8

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.8.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.8.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.9

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 (- \frac{1}{2^{3}}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.11

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 (- \frac{1}{8}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.12

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.12.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{8}$ إلى بسط الكسر.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 20 (\frac{- 1}{8}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.12.2

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 4 (5) (\frac{- 1}{8}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.12.3

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 4 \cdot (5 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.12.4

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 4 \cdot (5 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.12.5

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 5 (\frac{- 1}{2}) + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.13

اجمع $5$ و $\frac{- 1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + \frac{5 \cdot - 1}{2} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.14

اضرب $5$ في $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + \frac{- 5}{2} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

خطوة 6.2.1.16

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.16.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

خطوة 6.2.1.16.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

خطوة 6.2.1.17

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

خطوة 6.2.1.18

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

خطوة 6.2.1.19

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 (\frac{1}{2^{2}})$

خطوة 6.2.1.20

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 10 (\frac{1}{4})$

خطوة 6.2.1.21

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.21.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 2 (5) (\frac{1}{4})$

خطوة 6.2.1.21.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 2 \cdot (5 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

خطوة 6.2.1.21.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 2 \cdot (5 (\frac{1}{2 \cdot 2}))$

خطوة 6.2.1.21.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 5 (\frac{1}{2})$

خطوة 6.2.1.22

اجمع $5$ و $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + \frac{5}{2}$

خطوة 6.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + \frac{- 5 + 5}{2}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

أضف $- 5$ و $5$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + \frac{0}{2}$

خطوة 6.2.2.2.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8} + 0$

خطوة 6.2.2.2.3

أضف $\frac{5}{8}$ و $0$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{8}$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{8}$ .

$\frac{5}{8}$

خطوة 6.3

في $- \frac{1}{2}$ ، المشتق الثاني هو $0.625$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 1, 0)$ .

تزايد خلال $(- 1, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.1$ في العبارة.

$f'' (0.1) = 10 {(0.1)}^{4} + 20 {(0.1)}^{3} + 10 {(0.1)}^{2}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $0.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (0.1) = 10 \cdot 0.0001 + 20 {(0.1)}^{3} + 10 {(0.1)}^{2}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $10$ في $0.0001$ .

$f'' (0.1) = 0.001 + 20 {(0.1)}^{3} + 10 {(0.1)}^{2}$

خطوة 7.2.1.3

ارفع $0.1$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0.1) = 0.001 + 20 \cdot 0.001 + 10 {(0.1)}^{2}$

خطوة 7.2.1.4

اضرب $20$ في $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.001 + 0.02 + 10 {(0.1)}^{2}$

خطوة 7.2.1.5

ارفع $0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.1) = 0.001 + 0.02 + 10 \cdot 0.01$

خطوة 7.2.1.6

اضرب $10$ في $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.001 + 0.02 + 0.1$

خطوة 7.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أضف $0.001$ و $0.02$ .

$f'' (0.1) = 0.021 + 0.1$

خطوة 7.2.2.2

أضف $0.021$ و $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.121$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $0.121$ .

$0.121$

خطوة 7.3

في $0.1$ ، المشتق الثاني هو $0.121$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, \infty)$ .

تزايد خلال $(0, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. لا توجد نقاط على الرسم البياني تستوفي هذه المتطلبات.

لا توجد نقاط انقلاب