حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 6 x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{0}^{\sqrt{3}} x \sqrt{1 + x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 1 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 1 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 2.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + {\sqrt{3}}^{2}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = 1 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 2.5.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 2.5.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.5.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 1 + 3^{\frac{2}{2}}$

خطوة 2.5.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = 1 + 3^{1}$

خطوة 2.5.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$u_{upper} = 1 + 3$

خطوة 2.5.2

أضف $1$ و $3$ .

$u_{upper} = 4$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$6 \int_{1}^{4} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

خطوة 5.1.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

خطوة 5.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

خطوة 7

اجمع $\frac{2}{3}$ و $u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $4$ وفي $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 8.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 8.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 8.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 8.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 8.2.5

اضرب $2$ في $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 8.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

خطوة 8.2.7

اضرب $2$ في $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

خطوة 8.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 \frac{16 - 2}{3}$

خطوة 8.2.9

اطرح $2$ من $16$ .

$3 (\frac{14}{3})$

خطوة 8.2.10

اجمع $3$ و $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

خطوة 8.2.11

اضرب $3$ في $14$ .

$\frac{42}{3}$

خطوة 8.2.12

احذِف العامل المشترك لـ $42$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.12.1

أخرِج العامل $3$ من $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

خطوة 8.2.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.12.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

خطوة 8.2.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

خطوة 8.2.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{14}{1}$

خطوة 8.2.12.2.4

اقسِم $14$ على $1$ .

$14$

خطوة 9